Zernike-Polynome für die Astrooptik

Die adaptive Optik hat in der Profiastronomie eine wichtige Rolle eingenommen. Sie ermöglicht eine beträchtliche Steigerung des Auflösungsvermögens von Großteleskopen, welches normalerweise durch atmosphärisches Seeing begrenzt ist. Teleskope mit adaptiver Optik haben den Weltraumteleskopen mittlerweile den Rang abgelaufen – zumindest, was den Bereich des sichtbaren Lichts angeht.

Das Grundprinzip ist einfach: beobachtet wird mit einem Spiegel (das kann der Hauptspiegel oder ein Sekundärspiegel sein), der durch ein paar Dutzend bis ein paar hundert Aktuatoren (mechanische Bauelemente, deren Ausdehnung auf elektrischem Wege präzise gesteuert werden können) geringfügig, aber gezielt deformiert werden kann. Durch atmosphärische Turbulenzen erfährt die Wellenfront des Lichtes des beobachteten Objekts eine unregelmäßige Verzerrung. Diese Verzerrung wird kontinuierlich vermessen, woraufhin der Hauptspiegel genau so deformiert wird, dass er die atmosphärische Verzerrung exakt kompensiert.

Die technischen Anforderungen sind enorm: pro Sekunde wird das Bild etwa 100 Mal ausgewertet, und mit der gleichen Frequenz müssen die Aktuatoren angesteuert werden. Diese Echtzeitbedingung erfordert eine hohe Rechenleistung.

Von algorithmischer Seite kommt jedoch Unterstützung: wenn man weiß, dass die Wellenfronten ziemlich elegant mit Zernike-Polynomen angenähert werden können, reduziert sich der Bedarf an Rechenleistung dramatisch. Hierbei handelt es sich um eine vom niederländischen Physik-Nobelpreisträger Frits Zernike erstmals eingeführten Klasse von Polynomen, die einem ganz bestimmten Bildungsgesetz gehorchen. Von der Schule kennt man sicherlich einfache Polynome wie z.B. das Polynom dritten Grades y = ax³ + bx² + cx + d der Variablen x. Zernike-Polynome haben hingegen die zweidimensionalen Polarkoordinaten rho und phi als Variablen. Man unterscheidet zwischen geraden und ungeraden Zernike-Polynomen. Sie sind definiert als

(gerade), bzw.

wobei n und m natürliche Zahlen mit n >= m sind und

wenn n - m gerade und

wenn n - m ungerade ist. Hierbei ist der hochgestellte Buchstabe bei Z und R als Index und nicht als Exponent zu verstehen.

Anhand der Darstellung sieht man sofort eine angenehme Eigenschaft der Zernike-Polynome: sie lassen sich als Multiplikation eines ausschließlich radiusabhängigen und eines rein winkelabhängigen Terms darstellen.

Für die adaptive Optik nutzt man aus, dass Wellenfronten sich sehr gut als Überlagerung mehrerer Zernike-Polynome beschreiben lassen, etwa in der Art

Anstatt einen freien Parameter pro Aktuator betrachten zu müssen, kommt man in dieser Darstellung mit relativ wenigen Parametern aus.

Ein anderer Zweig neben der adaptiven Optik sind die Bildfehler optischer Linsen und Komponenten, wie z.B. sphärische Aberration, Koma oder Astigmatismus. Da sich diese ebenfalls als Verzerrung von Wellenfronten auswirken, können Bildfehler gleichfalls mit Hilfe von Zernike-Polynomen beschrieben werden.

Quellen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Zernike-Polynom (Formeln)

http://www.mpia-hd.mpg.de/~hippler/AOonline/C03/ao_online_03_01.html

SuW 11/97, S. 950, Künstlicher Stern über dem Calar Alto.

SuW 4/04, S. 32, Dem Seeing ein Schnippchen schlagen.