Vertrauensintervalle

In der Astronomie haben wir nun mal viel mit Messwerten zu tun; und wir haben uns auch angewöhnt, diese Messwerte nicht "für bare Münze" zu nehmen, sondern behalten stets in Hinterkopf, dass sie mit einer Unsicherheit behaftet sind. Wie groß aber ist diese Unsicherheit? Kann man für sie ein Maß angeben?

Als Maß für die Ungenauigkeit hat sich die Angabe eines Vertrauensintervalls, oder auch Konfidenzintervall genannt, etabliert. Vereinfacht formuliert, errechnet sich das Vertrauensintervall derart, dass der wahre Wert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit, dem Konfidenzniveau, innerhalb dieses Vertrauensintervalls liegt. Die uns vertrauten Fehlerbalken, Fehlerellipsen und andere Fehlerregionen sind nichts weiteres als verschiedene Ausprägungen von Vertrauenensintervallen. In der Praxis wird oft mit einem Vertrauensintervall für Konfidenzlevel 95 % oder 68 % gearbeitet. Breite Vertrauensintervalle signalisieren geringe Präzision, während schmale Intervalle dementsprechend für höhere Präzision stehen.

In untenstehender Grafik ist als Beispiel die Normalverteilung (auch Gauß-Verteilung genannt) sowie zwei ihrer Vertrauensintervalle abgebildet. Bei der Normalverteilung reicht das Vertrauensintervall für 68% von -Sigma bis +Sigma, wobei Sigma die Standardabweichung ist. für Sigma gilt: Sigma²=Var; Var ist die Varianz der Messwerte, die wiederum als Wurzel aus den summierten Quadraten der Messwertabweichung vom Mittelwert definiert ist. Für das Konfidenzniveau 95% reicht das Vertrauensintervall von -2 Sigma bis +2 Sigma.

Abb. Die Normalverteilung und das Vertrauensintervall für 68 % (1 Sigma, dunkelblau) und 95 % (2 Sigma, mittelblau). Quelle: Wikipedia, Artikel Standardabweichung.

In Wikipedia ist ein Algorithmus zur Berechnung von Vertrauensintervallen angegeben.

Vertrauensintervalle können natürlich auf für nahezu beliebige Verteilungen berechnet werden. Ebenso ist man nicht auf Verteilung, die von einem Parameter abhängen, beschränkt. Mehrdimensionale Vertauensintervalle sind allerdings etwas komplizierter zu handhaben.

Im Netz ist ein Java-Applet verfügbar, welches Messwerte und Konfidenzlevel entgegennimmt und daraus Vertrauensintervalle berechnet.