Trojaner-Bewegungsgleichungen

 

Die Trojaner-Asteroiden sind mehr als hundert Jahre nach der Entdeckung des ersten Repräsentanten immer noch eines der bemerkenswertesten himmelsmechanischen Phänomene unseres Planetensystems. Eine Wiederholung in aller Kürze: eine Gruppen von Kleinkörpern unseres Sonnensystems bewegt sich auf Bahnen mit einer Umlaufzeit, die in etwa der des massereichsten Planeten Jupiter, also etwa zwölf Jahre, entspricht. Dies bedeutet insbesondere, dass sie den gleichen mittleren Abstand zur Sonne einnehmen wie der Gasplanet. Normalerweise sind solche Bahnen nicht möglich, da sie starken Störungen des Planeten unterliegen. Es gibt jedoch Ausnahmen, und zwar wenn die Asteroiden sich in Raumgebieten aufhalten, die dem Planeten von der Sonne aus gesehen um 60° vorauseilt bzw. nachfolgt (s. Grafik unten).

(aus: Wikipedia)

Die Trojaner-Asteroiden umlaufen einen der beiden Lagrange-Punkte L4 und L5 und beschreiben hierbei eine komplizierte Rosettenbahn wie in dem Beispiel unten, welches die Bahn in einem Bezugssystem skizziert, das mit Jupiter korotiert.

Bewegungsgleichungen

Wie diese Bahn aussieht, hängt natürlich von den konkreten Ausgangsbedingungen ab. Um diese Bahnen zu untersuchen genügt es nicht, die oskulierenden Bahnelemente des jeweiligen Asteroiden zu kennen, denn diese stellen nur eine Momentaufnahme dar. Die komplexe Bahnform ergibt sich erst, wenn die gravitativen Störungen des Planeten berücksichtigt werden - heißt: durch Lösung von Bewegungsgleichungen.

Praktisch alle Positionsberechnungen basieren in irgendeiner Weise auf das Lösen von Bewegungsgleichungen. Die Bewegungsgleichungen für N Massepunkte lauten z.B.

(aus: Guthmann, Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung)

Hierin sind m<small><small><small>j</small></small></small> die Massen, r<small><small><small>i</small></small></small> die Positionsvektoren und r<small><small>i</small></small> (2 Punkt) die zweite Ableitung der Positionen nach der Zeit, sprich: die Beschleunigungen. G ist die Gravitationskonstante. Zu beachten ist, dass die Gleichung vektoriell zu verstehen ist. Die Bewegungsgleichungen stellen eine Beziehung zwischen der aktuellen Position der jeweils betrachteten Punktmasse r<small><small><small>i</small></small></small>, den Positionen aller übrigen Punktmassen r<small><small><small>j </small></small></small>und den daraus resultierenden Kräften (linke Seite der Gleichung) auf die eine Punktmasse her.

Die obige Darstellung von Bewegungsgleichungen gilt allgemein. Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen der zweiten Ordnung. Generell können sie durch numerische Integration mit dem Runge-Kutta-Verfahren, gelöst werden. Um jedoch die Bahnen von Trojanern nachzustellen, müssen jedoch vergleichsweise große Zeiträume integriert werden. Es erscheint daher zweckmäßig, auf einen anderen Satz von Bewegungsgleichungen auszuweichen.

Spezielle Differentialgleichungen

Da die Bewegung der Trojaner relativ zu den Librationspunkten sehr langsam erfolgt, muss die numerische Integration einen großen Zeitraum umfassen, um die Bahn von Trojanern plotten zu können. Ein Großteil des Rechenaufwandes wird jedoch von der Rotation des Systems Sonne-Jupiter aufgezehrt, die eher von geringem Interesse ist.

Es gibt jedoch Ansätze, die von dem allgemeinen Fall von Bewegungsgleichungen abrücken und die spezielle Geometrie des Systems berücksichtigen. Durch einen geeigneten Wechsel in das rotierende Bezugssystem, bei dem die Verbindungslinie Sonne-Jupiter als fest angenommen wird, kann der Umlauf des Jupiter um die Sonne aus der Rechnung herausgehalten und somit bei der numerischen Integration zu höheren Schrittweiten übergegangen werden.

In einem Paper von Erdi (nach dem Folgen des Links auf "look inside" gehen) findet sich ein Satz von Bewegungsgleichungen:

wobei die darin verwendeten Koordinaten r, z und α aus den Kartesischen Koordinaten X, Y und Z wie folgt hervorgehen:

aJ ist hierbei die große Halbachse des Jupiter, eJ seine Exzentrizität und υ die wahre Anomalie.

Es gibt jedoch auch andere Varianten, die Bewegung von Trojaner-Asteroiden zu beschreiben, wie z.B. die Theorie von E.W. Brown (Stumpff: Himmelsmechanik, Teil II).

Die Trojaner-Bewegungsgleichungen sind ein schönes Beispiel, um zu illustrieren, dass man ggf. von passgenauen Lösungswegen profitieren kann. Aber auch für völlig andere spezielle Fragestellungen der Himmelsmechanik könnte es sich lohnen, nach anderen Rechenwegen Ausschau zu halten.