Sitnikov-Problem

 

Eine klassische Aufgabe in der Himmelsmechanik ist die Berechnung der Position von Himmelskörpern unter Beteiligung dreier Körper, die gravitativ miteinander wechselwirken. Diese Anordnung wird allgemein als das Dreikörperproblem bezeichnet. Diese Aufgabestellung ist im Allgemeinen nicht analytisch lösbar; es lässt sich also i.d.R. kein Formelwerk angeben, mit dessen Hilfe die Positionen der beteiligten Körper für alle Zeiten berechnen lassen. Die einzige Ausnahmen sind einige Spezialfälle, wie z.B. Objekte in den Librationspunkten des Trojanerproblems.

Ein anderer Spezialfall ist das Sitnikov-Problem. Das System besteht aus zwei massegleichen Körpern, die sich auf elliptischen Keplerbahnen umeinander bewegen sowie einen weiteren als masselos angenommenen Körper, der sich senkrecht zu der von den ersten beiden Körpern aufgespannten Bahnebene auf einer Geraden, die durch deren Massenschwerpunkt verläuft, bewegt (s. Abb. unten). Der dritte Körper vollzieht scheinbar willkürliche Auf-und-Ab-Bewegungen entlang dieser Geraden durch die Bahnebene hindurch. Wie diese Bewegung genau ausschaut, wird durch die wählbare Ausgangskonfiguration der drei Körper festgelegt. Obwohl die Bewegung des dritten Körpers eindimensional ist und somit nur durch seine Geschwindigkeit in z-Richtung (+/-) charakterisiert wird, besitzt das System chaotische Eigenschaften.

(Quelle: Wikipedia)

Das Sitnikov-Problem ist konstruiert und man wird es selbstverständlich in der Natur nicht vorfinden; dennoch ist es von Himmelsmechanikern vielfach untersucht worden. Man kann die Betrachtung der Bewegung des dritten Körpers auf seine Nulldurchgänge (Durchstöße durch die Bahnebene der anderen beiden Körper) reduzieren. Man kann z.B. für beliebige Ausgangssituationen die Abfolge der Zeitintervalle zwischen Nulldurchgängen angeben. Diese kann regelmäßig (z.B. 2, 2, 2, 2, ...), aber auch völlig chaotisch (z.B. 2,31, 0.38, 0.77, 3.0, 2.55, ...) sein. Man gelangt somit zu einer sehr bemerkenswerten Eigenschaft des Sitnikov-Problems: Der Mathematiker Jürgen Moser (KAM-Theorem) fand heraus, dass man umgekehrt eine beliebige Zahlenfolge für die Abfolge der Zeitabstände zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nulldurchgängen vorgeben und für sie eine Ausgangskonfiguration auffinden kann.

Für eigene Experimente stellt die Universität Wien ein Java-Applet zur Verfügung.