Satz von Bayes

 

In der Statistik begegnet einem des Öfteren der Satz von Bayes. Hierbei handelt es sich um einen Satz im mathematischen Sinne, der auf die Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten (zwei oder mehr Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die voneinander abhängen) angewandt werden kann.

Im einfachsten Fall werden zwei Ereignisse A und B betrachtet, die mit einer von 0 verschiedenen Wahrscheinlichkeit eintreten können, für die also gilt: P(A) > 0 und P(B) > 0 (P steht für den englischen Begriff probability). Sind diese Ereignisse A und B miteinander verkettet, so könnte man sich für die Wahrscheinlichkeit P(A) unter der Randbedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist, interessieren. Die Notation hierfür ist P(A | B).

Der Satz von Bayes besagt nun, dass für die kombinierte Wahrscheinlichkeit P(A | B) gilt:

P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)

Darin ist
P(A | B) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass Ereignis B eingetreten ist,
P(B | A) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass Ereignis A eingetreten ist,
P(A) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A und
P(B) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.

Unter Wikipedia findet sich eine Darstellung für mehrere verkettete Ereignisse.

Was bringt einem diese Formel?

Man sieht der Konstruktion des Satzes von Bayes bereits an, dass sich damit umgekehrte Schlussfolgerungen berechnen lassen. Wenn man sich für die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B) interessiert, die nicht oder nur sehr schwer einer Berechnung zugänglich ist, so lässt sie dies erreichen, indem man die möglicherweise erheblich einfachere Rechnung für P(B | A) durchführt.

Insbesondere sollte der Satz von Bayes jemanden von dem Fehlschluss abhalten, von P(B | A) einfach direkt auf P(A | B) zu schließen. Bei Größen sind im Allgemeinen nicht gleich.

Anwendung in der Astronomie

Auch in der Astronomie besitzt der Satz von Bayes eine gewisse Bedeutung, und zwar bei der Datenanalyse und Modellierung. Ein paar Beispiele:

  • Kosmologie (Abschätzung des kosmischen Mikrowellenhintergrunds, Modellierung der Parameter des Universums, Behandlung der Dunklen Energie)
  • Gravitationslinsen (Modellierung)
  • Variable Sterne (Identifizierung, Klassifizierung, Lichtkurvenanalyse)
  • Exoplaneten (Bayes-Interferenz für Durchmusterungen, Bahnbestimmung)
  • Sonnenphysik (Flare-Erkennung, Berechnung magn. Felder)

Links:
www.math.bas.bg/~llaskov/Papers/LLaskov_2012_BPTA.pdf
Satz von Bayes