Reihenentwicklungen (Taylorreihen)

 

Ein wichtiges Instrument in den Naturwissenschaften sind Reihenentwicklungen. Funktionen, wie z.B. trigonometrische Funktionen (sin x, cos x), die Exponentialfunktion (ex) oder Logarithmen lassen sich durch Reihenentwicklungen durch Polynome annähern, die von Taschenrechnern und FPUs in Prozessoren vergleichsweise einfach berechnet werden können.

Reihenentwicklung am Beispiel: die Sinus-Funktion

Die Funktion sin(x) als Reihenentwicklung läßt wie folgt darstellen:

Besonderes Merkmal einer Reihenentwicklung ist, daß die Fakultät im Nenner (n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x n) stärker anwächst als das Polynom xn, sodaß die hinzukommenden Terme laufend kleiner werden; insbesondere konvergiert die Reihe gegen einen endlichen Wert, sprich: den Wert von sin(x). Die Reihenentwicklung kann man abbrechen lassen, sobald die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

In der Abbildung sind die Funktionen sin(x) (blau) sowie einige Beispiele für Taylorreihen, die nach dem Term x (rot), x3 (grün) und x5 (gelb) abbrechen, dargestellt. Man erkennt, daß die Annäherung für betragsmäßig immer größere x desto besser wird, je mehr Terme berücksichtigt werden.

 

Tricks rund um Reihenentwicklungen

Was aber, wenn das Argument eine große Zahl wird? Sollen solange Koeffizienten berücksichtigt werden, bis die Approximation genau genug ist? Dies kann durch die vielen zu berechnenden Terme zu hohem Rechenaufwand führen. In der Praxis bedient man sich daher einiger Tricks: man versucht, das Argument in einen engen Bereich, beispielsweise zwischen -1 und +1, zu bringen, worin die Reihe sehr schnell konvergiert. Bei der Sinusfunktion z.B. kann man die Periodizität ausnutzen: sin(n*2 pi + x) = sin(x) für alle ganzen Zahlen n. Auf diese Weise kann man x in den Wertebereich zwischen –pi und +pi eingrenzen. Wenn man zusätzlich noch beispielsweise ausnutzt, dass sin(x) = cos(x - pi/2) ist, lässt sich der Argumentbereich zusammen mit anderen Symmetrieeigenschaften für eine schnelle Konvergenz noch weiter eingrenzen.

Ein anderes Beispiel: die Exponentialfunktion ex. Bei der Reihenentwicklung von ex für x=80,75 kann eine Aufspaltung in e80 * e0,75 vorgenommen werden. Den ersten Term kann man konventionell ausrechnen, während der zweite entwickelt wird und dabei schnell konvergiert.

Taylorreihen

Wie werden diese Reihenentwicklungen überhaupt generiert? Ein allgemeiner Formalismus sind die Taylorreihen. Diese sind definiert als

wobei f(n)  die n-te Ableitung (s. Differentialrechnung) nach x  ist und f(x) die zu entwickelnde Funktion. x0 ist hierbei derjenige Wert, um den die Reihe entwickelt wird (meist 0, wie in unseren Beispielen).

Bei unserem Sinus-Beispiel ist f(x) = sin(x), f’(x) = f(1)(x) = cos(x), f’’(x) = f(2) (x) = -sin(x), f’’’(x)=f(3) = -cos(x), usw.

Taylorreihen haben den Vorzug, daß sie für viele Funktionen verfügbar sind, aber es gibt noch weitere Formalismen zur Reihenentwicklung, die z.T. schneller konvergierende Reihen liefern. Ein Beispiel sind

Algebraische Umformungen

Wenn z.B. die Funktion

entwickelt werden soll, kann man dies durch algebraische Umformungen erreichen:

 

Anwendungen von Reihenentwicklung

Mit einer Reihenentwicklung verläßt man den Pfad der Exaktheit. Sie werden aber dennoch häufig in den rechnenden Naturwissenschaften angewandt. Wenn komplizierte Probleme nicht anders lösbar sind, bekommt man so zumindest eine gute Näherungslösung. Häufige Anwendungsfälle:

  • Beim Integrieren, wenn keine analytisch darstellbare Stammfunktion existiert.
  • Bei der Fouriertransformation.
  • Beim Lösen von Differentialgleichungen

Ausblick: Reihenentwicklung für Ephemeriden

Auch in der Astronomie gibt es Anwendungen für Reihenentwicklungen, z.B. für die Tschebyschow-Polynome. Man verwendet sie u.a. zur Interpolation, wenn Positionsangaben nur für diskrete Zeitpunkte vorliegen.