KAM-Theorie

 

Wenn man die Umlaufzeiten von Jupiter (knapp 12 Jahre) zu der des Saturn (ca. 29,5 Jahre) in Relation setzt, stellt man fest, dass sie in einem 2:5-Verhältnis stehen, d.h. während Jupiter 5 Umläufe um die Sonne vollzieht, sind es bei Saturn 2 Umläufe. Bei solchen Resonanzen könnte man erwarten, dass die Störungen durch Jupiters Gravitation die Bahn des Saturn permanent deformieren, bis Saturn entweder in die Sonne stürzt oder aus unserem Planetensystem entfernt wird. Da dies offenbar seit Entstehung unseres Planetensystems nicht passiert ist, muss diese Anordnung sehr stabil sein. Klassisch kann man es sich so vorstellen, dass bei einer 5:2-Resonanz die Störungen gleichmäßig über die Bahn  des Saturn verteilt sind, weshalb sie sich gegenseitig aufheben. Langzeitsimulationen bestätigen diesen Eindruck. Es stellte sich heraus, dass die Umlaufzeit des Saturn zwar das Verhältnis 5:2 nicht exakt trifft, jedoch fortwährend um diesen Wert pendelt.

Einen anderen Blickwinkel auf dieses Fragestellung nimmt die KAM-Theorie ein. Sie ist benannt nach den Anfangsbuchstaben der Wissenschaftler Kolmogorow, Arnold und Moser, die sie im 20. Jahrhundert aufgestellt haben. Doch erstmal zurück zu Jupiter und Saturn. Es ist offenbar so, dass die Bahn des Saturn infolge Jupiters Störungen zwar nicht periodisch, sondern quasiperiodisch ist, d.h. Saturn kehrt nach einer gewissen, u.U. auch sehr hohen, Anzahl von Umläufen in seine Ausgangsposition zurück.

Zu der quasiperiodischen Bahn des Saturn kann man sich in guter Näherung einen Torus vorstellen, der als Einhüllende für die Bahn fungiert, d.h. die Bahn ist zu allen Zeiten komplett im Torus enthalten; er wird nie verlassen. Mit diesem Modell kann man sich die tatsächliche Bahn als Überlagerung von Schwingungen um eine "mittlere" Bahn vorstellen, d.h. man kann sie als Fourier-Reihe darstellen, wie in diesem eindimensionalen Beispiel:

f(t) = sin(t) + 1/3*sin(3t) + 1/5*sin(5t) + ...

Diese Reihe konvergiert, da die Koeffizienten (Brüche) vor der Sinusfunktion immer kleiner werden und die Sinusfunktion selbst zwischen -1 und 1 begrenzt ist.

Im Allgemeinen kann eine Reihe wie folgt geschrieben werden:

f(t) = a1*sin(t) + a2/3*sin(3t) + a3/5*sin(5t) + ...

mit Koeffizienten a1, a2, a3 usw. Fourierreihen konvergieren nur, wenn die Koeffizienten hinreichend schnell kleiner werden, was nicht zwangsläufig der Fall ist. Es könnte z.B. sein, dass die Koeffizienten nicht gegen 0 streben, sondern dass bei hohen Indizes einige Koeffizienten sehr große Werte annehmen und damit die Konvergenz zerstört. Selbst wenn man zum Anfang kleiner werdende Koeffizient hat, folgt daraus noch keine Gewähr.

Die KAM-Theorie lässt folgern, dass Bahnen quasiperiodisch sind, wenn ihre Fourier-Reihe gegen sie konvergiert. Beim System Jupiter-Saturn konvergieren die Koeffizienten hinreichend schnell, sodass hier auf Quasiperiodizität geschlossen werden kann.

Quelle: Spektrum d. Wiss., Dez. 1994